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来源：量子位

罗博深，一个复活了美国奥数国家队的男人。

△图源：Quanta Magazine

在他的执教下，美国奥数国家队迎来了黄金时期。

过去六年中，共获得了4个国际奥数竞赛（IMO）第一名（2015、2016、2018、2019年），打破中国队此前的“垄断”局面。

注：其中，2019年与中国队并列第一。

这也是美国队自1994年以后首次夺冠。

而回望八年的执教生涯，罗博深在公开采访中说过最多的一句话就是：

我执教的目标从来都不是要赢。

“如果我执教，要做好成绩下降的准备”

仔细算下来执教奥数国家队，其实是一场意外。

2002年，当时还在加州理工学院读大二的他，在一位朋友的建议下申请了美国奥数训练营（MOP）的助教职位。

罗博深犹豫了一下，因为他在高中时参加过1999年国际奥数竞赛，当时在6名美国队员中排名第五，最终摘得了银牌，这样的成绩并不理想。

我之前从来没想过要申请。不是因为我不想。而是因为我觉得外面有更好的人。

但他最终还是同意了。

幸运的是，那一年MOP突然大幅增加预算，学生规模扩大了5倍，由此需要大量师资引进。

罗博深就拿到了最后一张入场券，加入了MOP助教团队。

据知乎上他本人介绍，当时在完成修改试卷任务之余，他还主动请缨给学生上课。

在授课过程中，他就产生了他自己独有的方法论——始终以初学者第一次了解这些知识时的感受为出发点来进行教学。

他会围绕一组精心挑选的相关题目来展开每一堂课，鼓励学生说出自己的想法，一起头脑风暴攻克题目。

比起一上课就把解题方法告诉学生，我更倾向于让全班同学集思广益。

结果在MOP训练计划结束时，他给学生们留下了深刻的印象，被学生选为最佳讲师。

△图源：罗博深知乎专栏

由此，他就再也没有离开过MOP的助教队伍。一直到2004年，他第一次被任命为美国国家队副领队。

在担任副领队期间，他采取了一系列的改革措施。

比如，帮助高中生明确IMO比赛之后的方向。

当时每隔一天就会开一次夜间研讨会，由助教介绍自己的工作内容，并着重介绍自己如何从IMO走向现在这条路的。

再比如，让奥赛生参与到大学的学术研究中来。

当时，罗博深在大学组织了学术研讨会，由一些教职人员提出数学研究问题，带领本科生共同解决，而奥赛生也可以来旁听提问。久而久之，一些奥赛生也参与了科研论文的合作。

在接受Quantamagazine采访时，罗博深举了这样一个例子。

即使在IMO考题上没有有关量子力学的内容，但研讨会上也会讨论用于分解数字的量子算法。

2013年，美国数学协会邀请他担任主教练。他接受了这一任命，但有言在先。

如果我担任主教练，要做好美国队比赛成绩下降的准备。

我执教的目标不是IMO团队排名，或是一共获得了多少奖牌。而是这些前来参加培训的学生能否在二十年多年后取得成功。

结果两年后，美国队就迎来了21年来的最佳排名。

而这样惊人的成绩，除了学生们的自身努力之外，还可能来自于罗博深长期坚守的理念——“关注学生长期发展”所驱动。

当时，他在训练营中采取最主要的创新举措就是免费邀请来自世界各地的竞赛团队与美国队一起学习。

每年6月，数学协会邀请60名高中生参加训练营，根据前一年的考试结果，当中6人已经被选中代表美国参加IMO。

但其余54位高中生仍会与其他国家成员一起训练，建立合作关系。即便不能参见IMO，对这些学生来说也是非常有价值的。

罗博深告诉Quantamagazine：

我们的目的不是派6个人去参加IMO，而是让60个人感受到IMO的氛围。

这也恰好印证了罗博深从一开始就没想过赢，而是想让更多学生来感受数学，了解数学，学会研究数学问题。

这样的思想也贯彻到了他在卡内基梅隆大学（CMU）的教授生涯上。

在CMU，罗博深开设了专门为普特南数学竞赛培训课程，称为普特南研讨会（Putnam Seminar）。

普特南数学竞赛，是由美国数学协会举办，针对美国和加拿大本科生数学能力的标准化测试。

每年吸引来自500所大学约5000名本科生前来参赛，每所参赛大学会派出3人代表团加入对战。

在过去十年中，CMU在个人排名前10%的选手数量稳居第二位，仅次于麻省理工学院。

而就在2016年，CMU的三人代表均排名前五，为学校夺得了历史性的冠军席位。

要知道在此之前，自1939年以来，CMU还从未得过第一名。

“第一数学家庭”

实际上，罗博深与数学结缘很早。

罗博深的父母都是新加坡华人。父亲罗伟贤是威斯康星大学麦迪逊分校统计学专业教授，拥有国际数理统计学会Fellow、美国统计协会Fellow等荣誉。而他的母亲李月娥，也曾在新加坡担任高中数学老师。

△罗伟贤

根据罗博深的自述，在他小时候，母亲就会在家里教他基本的计算和代数知识。而他虽然在美国长大，但在小学三年级之前，也经历过来自父母的东方式“题海”教学，打下了扎实的数学基本功。

但父母带给他的，并不仅仅是做题大法。

在接受Quantamagazine采访时，罗博深举了这样一个例子：

在他5年级左右时，他的父亲在家里找出了一本数学难题集。里面的问题不是什么“速算100道算术题”，而是希望读者打破思维的条条框框。比如，你有6根牙签，如何将它们排成4个三角形？

如果你还停留在二维平面上，那就会陷入困境，因为解决方法是：搭一个四面体。

罗博深表示，父亲会经常带着他们兄妹三人一起研究类似的数学难题，一起对答案、讨论各自的想法。

△右二为罗博深，图源：Facebook

在这样的家庭氛围中，可以说，数学一直都是罗博深生活的一部分。他也很早就在对难题的挑战中明白了这样的道理：解决数学难题需要坚持不懈，并且要善于打破思维定式。

于是到了初中时，罗博深顺理成章地开始接触数学竞赛。

竞赛中的竞争氛围完全符合我的三个兴趣点：人、挑战、思考。

不久之后，他的天赋便得到了印证——

在全美最具影响力的初中数学竞赛MATHCOUNTS上，罗博深拿到了个人排名全美第三的成绩。

而在这个过程中，罗博深不仅享受着挑战自我的刺激感，也将数学竞赛视作“大型的数学派对”：

我看到的是一群卸下天才光环后的平常人，我深深享受着与他们相处的时光。

他的竞赛之路，也就一直延续了下来。

在1999年，罗博深代表美国队参加了在罗马尼亚举办的国际数学奥林匹克竞赛（IMO），摘下一枚银牌。

据他自述，他也借此机会接触到了一些中国队队员，“人生中第一次把汉语用于实践”。奇妙的是，当2018年IMO重回罗马尼亚，他和当年的中国队队员瞿振华，分别以美国队和中国队总教练的身份，故地重逢。

另外，值得一提的是，罗博深的弟弟妹妹后来也在MATHCOUNT上拿下了全美第一和全美第二的成绩。

弟弟罗博儒后于MIT拿下应用数学博士学位，现为哈佛医学院副教授。

妹妹罗博玲博士毕业于加州大学伯克利分校，现为剑桥大学纯数学与数理统计学系讲师。

麦迪逊当地媒体曾报道称，他们一家人是麦迪逊的“第一数学家庭”。

他还是一位数学布道者

如今，罗博深主要从事数学教育工作，将“提高全世界的数学兴趣和能力、构建一个思考型世界”视为己任。

而他的教学方法，始终强调寓教于乐。

2014年，他推出了一款名为Expii的免费应用程序，利用互动式拼图来教授基本的数学概念。

他还制作了不少YouTube视频，不仅有正经向的课程内容：

也有类似这样，分析编舞背后基本数学知识的视频（手动狗头）：

罗博深曾在自己的文章中表示，他关注的重点从来都不是“是什么”或“怎么做”，而是“为什么”，目的是让学生学会从数学的角度进行思考，而不是机械地习得固定的知识点。

他举了这样一个例子：

在讲小数和分数互相转换的方法时，我没有让学生在课上系统地练习每一种方法，而是引导他们从奇妙的数字1/89（约等于0.011235）中发现问题。

再比如在更高阶的课上，我会和他们一起深入讨论前N个平方数之和（1+4+9+16+…）的公式，与球体体积公式中的“4/3”之间的关系。

而在科普教育工作之外，作为CMU的数学副教授，罗博深也依靠数学家的敏锐，对数学教学方法进行了进一步的钻研。

比如2019年年底，他就提出了一种更容易学会的一元二次方程求解方法。

有外界评价称，将这种方法运用在编程中，能让代码更具可读性。

另外，值得一提的是，作为一名华裔，罗博深一直对中国很感兴趣。来到中国时，习惯于英语演讲的他，特地进行了数次中文演讲。

而在中国受到关注，也使他倍受鼓舞，决心要为东西方数学桥梁添砖加瓦。

参考链接：
https://www.quantamagazine.org/po-shen-loh-led-the-u-s-math-team-back-to-first-place-20210216/
罗博深知乎专栏：zhihu.com/column/c_1086208827355062272

 

 

– EOF –

本文来源：第一阅读（id：Readfirst），作者：暖暖。

在短视频上总可以看到一些让人惊奇的“天才”小孩，譬如下面这个：一个不到5岁的小女孩心算速度堪比计算机。

小女孩是不是很棒！

不过在评论区满满的惊叹和称赞声中，我注意到这样一条留言。

珠心算和手指算，会在上小学后，彻底摧毁孩子的算数能力！知道为什么嘛？因为每个老师的教学方式，都不一样，阻断了孩子的正常思维模式！这样的教育模式太死板，不灵活！上小学你们就知道，毫无用处，还会影响孩子！

每个孩子的成长轨迹不一样，过早的练习心算是否会摧毁孩子的算数能力乃至数学兴趣，我们不得而知，恐怕要等到小女孩再大一点，才可以判断。

但有一个现象是，在中国，许多家长会有意无意地让孩子“早学多学”，生怕孩子输在起跑线上，教育作家黄全愈的儿子亦是如此。

黄全愈的儿子在国内的幼儿园学了不少小学的知识，到美国后，儿子的数学水平已远远超过同班的美国孩子。于是，第一学期结束后，黄全愈向学校申请让儿子插班到三年级上数学课，却被儿子的数学老师拒绝。

老师给出的理由是，“我们的目标是培养孩子成为解决问题的能手，学会思考，让孩子把自信建立在他们自己的能力上，从而去珍视数学。”

当时黄全愈还很不服气，但是13年后，才懂得老师的用苦良心，因为自己的儿子在上大学后，却不再碰数学，尽一切可能避免选修曾经给他带来无数荣耀的数学。在经过观察后，黄全愈在书中写道，“那些曾经‘大跃进’式学数学、在美国孩子面前大出风头的中国孩子，最终却对数学有敬而远之、甚至产生望“数”生畏的感觉。”

另外一件耐人寻味的事情是，之前著名数学大师丘成桐上《开讲了》节目，现场一名学生问了他一道数学题，丘成桐想了半天答不上来，说“数学家不擅长加减乘除”。

5岁宝宝心算堪比计算器，获得无数教学最高成就的顶尖数学大师却说自己不擅长加减法，这种对比似乎显得颇为诡异和讽刺。

 

除此之外，数学还充满了其他种种吊诡的“玄学”和“迷思”。

做这个选题时，我咨询了身边很多朋友，有数学成绩好的，不太好的，数学专业的，我把大家对数学的困惑和“迷思”归纳为以下两类。

第一类是针对我这类数学学渣，读书时代被数学虐过千百遍的。我们会不解：学数学究竟有什么用？我们从小背了那么多公式，做了那么多习题，长大后却对那些知识点几乎忘光，现实生活中也几乎用不到勾股定理、三角函数这些枯燥的数学概念，那么学数学究竟有什么意义呢？难道只是吃吃数学的苦，体验它给我们带来的挫败感吗？

第二类是针对那些数学成绩优异，很会做题，也很会拿高分的。有一个数学专业研究生朋友跟我说，自己被人说“数学很强”说了十多年之后，才发现自己其实根本就没那么喜欢数学，他只是很会遵循指事而已，这让他感到伤心和失败。

那么数学究竟是什么？这个学科到底有什么意义和价值？为什么有些人数学就是学不好？相信我，关于数学的所有困惑、不解乃至憎恨，有很多人都经历过或者正在、将来要经历。

一本名为《一个数学家的叹息》在2019年出版，关于数学的种种“迷思”和批判，该书可谓是让人“大开眼界”。和很多读者一样，我看了前几页，就觉得震撼，这种震撼，是一种“总算有人了解我的感觉”加上“曾经的恐惧跟伤疤又被碰触”的综合感受。

在本书作者Paul Lockhart看来，数学不仅是一门充满乐趣的学科，它还是一门艺术，只可惜，现有的数学教育摧毁了数学。

01

数学，

一门被“误解”了的艺术

丘成桐曾在演讲中指出，数学是一门求真求美的学科，Paul Lockhart也秉持类似的观点。Paul认为数学是一门艺术，只可惜我们的文化不认同数学是一门艺术。

Paul在书中如此写道，“我们觉得天文学或物理学很震撼人心，在这一点上，数学完全一样。在天文学家发现黑洞之前，数学家老早就有黑洞的构想了。而且数学比诗、美术或音乐容许更多的表现自由，后者高度依赖这个世界的物理性质，而数学是最纯粹的艺术，同时也最容易受到误解。”

那么，数学这门艺术是如何被误解以及被现代教育所“摧毁”的呢？

作者主要从两个部分解构原因。

首先是学校课堂。

Paul用痛心一词来形容学校里的数学教育。

学校教育的目的从来都不在培养学生的思考力和创造力上，学校只是训练小孩的表现，然后可以根据表现将这些小孩分门别类。数学在学校里被毁灭，不应该是太意外的事。

这么丰富且迷人的想象力探索过程，却沦落成一套要死记硬背毫无生气的“事实”。不用说也知道，当年你的数学课有多枯燥，无意义地浪费时间。

譬如我们要求背诵“三角形面积等于底乘以高的一半”，然后在“习题”中反复应用。兴奋之情、乐趣、甚至创造过程会有的痛苦与挫折，全都消磨殆尽了。问题在提出来的同时被解答了——学生没事可做。

当然，作者反对的并不是公式，而是反对这种“拿掉了创造性过程，只留下结果的灌输式方式”。

这导致数学成为一门空壳。

教育者应引导学生提出自己的问题、自己猜测与发现、试错、经历创造中的挫折、产生灵感、拼凑出他们的解释和证明。

其次是数学课程和教材。

这个所谓的数学课程纲要，最令人震惊的是它的僵化。尤其对高年级学生更是如此。每个学校、每个城市，都用完全同样的方法、完全同样的次序教数学。而大部分的人对这种“老大哥”的掌控，并不感到困扰，只是顺从地接受这种数学课程“标准模板”，把这当作是数学本身。

本来应该是很有意义的题目，可以引导出各种想法、没有界限的讨论与论辩、可是我们却代之以无趣和重复的习题、特定题型的解题技巧，各个主题之间彼此不关联，甚至脱离了数学概念的完整性。

英文老师知道在阅读和写作的情境下学习拼写和发音是最好的；历史老师知道若是拿走事件的背景故事，人名和日期就会很无趣。

唯独数学教育还卡在19世纪，没有进步。

历史上一些最有创造力的人所创造出来的美妙艺术作品——而我们却选择让三流的教科书把它低俗化。目前，我们的数学教材由一套没有历史观点、没有主题连贯性的数学课纲，支离破碎地收集了分类的主题和技巧，依解题程序的难易程度凑合在一起。

这些关于数学的批判和抨击，是不是看得大快人心？

当然，这本书不仅仅停留在控诉，书的后半部分，作者用极为有趣的视角，为我们拆解数学概念。

前方高能预警！

想象一下，你身处于一个充满奇怪生物的丛林。这些生物的行为很有趣，而我想要了解它们，它们是：1，2，3，4，5……

让我们用想象的石头堆来讨论它们。

在排列的时候，我们注意到它们之中有些个（石头堆）可以排成两个相等的行列：

数字2、4、8及14具备这样的属性，而3、5及11则没有。

看出来没有？有些石头堆个性突出，总是有菱角，而有些石头堆温和平滑，由此我们总结出，有菱角的石头堆是奇数，平滑的是偶数。

由于将石头堆推到一起，是我们很自然会去做的事，因此很自然地，我们也会想知道加法对偶数和奇数的区别有什么影响，所以我把这些石头堆摆来弄去一番，结果我注意到一个有趣的模式：

偶数 和 偶数 成为 偶数

偶数 和 奇数 成为 奇数

奇数 和 奇数 成为 偶数

你看出原因了吗？我尤其喜欢两个奇数配在一起的样子：

奇妙的“负负得正”特性在此发扬光大。那些恼人的头角正好彼此填平了！

再来！

让我们再次逃回到丛林中，假设丛林里有两只仓鼠。

仓鼠A要跑到仓鼠B，且必须要触碰直线最短的路径是什么？

这是一个多么明确又迷人的题目啊。在不知道这个答案之前，我们会有多种构思。

但有一个非常简单的方法，可以告诉我们这条路径是否为最短。这个构想，是几何学当中最令人惊讶和出人意料的构想之一，就是寻找在直线另一侧的镜射（reflection）！

重点来了：新路径的长度和原路径的长度是相同的！这表示，找出从A到B要碰触到直线的最短路径，等于要找出从A到B′的最短路径。但是这容易多了——就是直线呀！换言之，我们要找的路径很简单，就是镜射之后为直线的路径！

但是这还没有结束。该论证的精髓在于这项事实：跨越直线的镜射，保持住了距离。这表示我们的论证适用于有点、线、距离、镜射观念的任何背景设定。

举例来说，在一个球面上，跨越赤道线（equator）有一个镜射的概念：

在球面上两个点之间最短的路径，是走赤道线，这也是为什么飞机常采取此航线的原因。

因此，在球面上的相对应题目就会是：在赤道线同一侧的两个点，连接两点并碰触赤道线的最短路径为何？同样的，是与镜射点成直线的路径。

类似的例子，书中还有其它，在书本结尾，作者给读者的忠告是，“数学不需要证照，数学就是玩游戏就对了”。

02

学数学究竟有什么价值？

遗憾的是，在很多人的学习生涯里，数学给人留下了太多挫败的阴影和不愉快的体验。我们不仅体验不到数学的乐趣，更别提去欣赏它的艺术美感和价值。

作为一个文科生，我对这一点有着深恶痛绝般的感同身受。

其实仔细回想起来，我对数学的敌意和抗拒并非生来俱之，这一点相信很多人都是。整个小学阶段，我也曾因为擅长解题和拿高分被大人夸赞聪明，被老师列为优等生，但是，到了初高中，数学一下成了我的短板和“伤痛”。（转变如何发生的，我后文会讲）尤记得以前每次考完数学发试卷时，都是一场对人格的打压和羞辱。

因为害怕数学，我的本科专业和研究生专业都选择了不用学数学的偏文学类专业。（告诉我我不是一个人！）

因此，在我的经验里，数学除了给人带来恼人的痛苦和羞愧外，似乎没有其它印象和价值了。但当真如此吗？事实上，是我们部分人对数学的无知和刻板印象在“作祟”。

要知道，在北大，数学专业是最难申请的热门专业，丘成桐说他认识很多人靠数学赚了很多钱。不过，从这个角度来评价数学的价值未免显得过于功利，但丘成桐还说过另外一句话：数学是所有学科的基础。没有数学的话，就没有现代的科技社会。数学的美一旦被发现，是可以引领你进入科学殿堂的。

譬如，数学里的共性映射可以应用到表情识别和追踪当中。（详情点击这里，丘成桐：人工智能呼唤数学理论）

用几何分析理论，可以发展成一项虚拟肠镜算法。如今这套算法被普及应用到医学CT影像上，使原本难以在早期被诊断的直肠癌得到有效筛查，并在全世界解救过不少生命。

对了，上面这两个发明都是丘成桐结合数学知识研究所得。

这里再举一个例子。

不知道大家有没有听说过贝尔实验室，它被誉为人类历史上最伟大的实验室（没有之一）。世界上很多伟大的发现都产自于这个实验室。而这得益于学科的交叉和通力合作：很多重大发明都是数学家、物理学家和工程学家一起研究得出的。

图表为贝尔实验室研究成果

丘成桐还说，“数学家的重要性好像一个哲学家，对于整个国家的贡献，你刚开始看不出来，但是长远来讲，整个国家的灵魂都囊括其中。而且纯数学的应用，影响整个国家比哲学快很多。举例来讲，欧洲和美国现在都在研究的领域是量子计算，这里面需要很多纯数学和纯物理的知识。量子力学要是成功，整个工业社会和整个社会科技将被改革。”

不明觉厉，有木有！

当然，普通的孩子，目标不是成为数学家，能够考上北大数学专业的学生更是少之又少，更多的人是在应试教育体制下，尽量多考些分数，当做敲门砖，实现自己其它目标。

如何拿高分，我确实不太擅长。但是通过采访、搜集资料乃至自省过去的经验，我发现了一个非常重要的关键点——很多人的数学兴趣是被无趣的老师所毁掉的！（虽然会出现同一个老师，教出的学生水平不一的情况）

我也算是“深受其害”。回忆起初一那会，我一上数学课就想睡觉，导致我的数学成绩下降严重，初二换了一个数学老师，普通话标准、声音又好听，那一年，我数学成绩显著提高，一度恢复起对数学的热情和兴趣，但到了初三，又遇到了初一那个老师，数学课再次成为我的“噩梦”，数学成绩不好，导致越学越没自信，也越学越不想学，恶性循环由此形成。

但这又能有什么办法呢？并不是每个学生都那么幸运，可以在重要的时间节点遇到对的“领路人”。正如Paul所说，文化是自我复制繁衍的怪物：学生从他们老师那里学习数学，而老师又是从他们的老师那里学习数学，所以对于数学欠缺的了解与欣赏，会在我们的文化中无止境地复制下去。

 

 

03

数学究竟该如何学？

还记得我前文所讲的，Paul给大家的忠告吗？数学是艺术也是游戏，是一场探索，是无害并且愉悦的活动。

在这里，我想给大家介绍一位老师Eddie woo，他是一名华裔，被澳大利亚人民誉为数学英雄。

图为Eddie woo与澳大利亚首相Malcolm Turnbull

因为Eddie woo在Youtube上开设了自己的频道，我随意打开几个，下面的评论画风是这样的。

想想一下其他学校的学生都逃掉数学课，但是他们躲到图书馆去看Eddie woo的数学课堂录像。

我有幸亲自上了Eddie woo的数学课，毫无疑问，他向我们展示了教育不仅是一门职业，还是一种启发和唤醒。上帝保佑！

我们必须不惜一切代价保护这个男人。

说Eddie woo掀起了数学革命也不为过，因为有趣的授课方式，很多原本对数学丧失信心和兴趣的学生重新爱上数学。

在2018年，Eddie woo更是被授予2018年度澳大利亚本地英雄奖（Australia’s Local Hero for 2018）

怎么让数学这门学科恢复其本真和趣味性，我们需要更多像Eddie woo这样的老师。

目前，Eddie woo的Youtube账号已有114万订阅者，可惜的是这些视频只有英文版本，对于中国学生来说，看懂它确实有语言上的难度。

所谓“兴趣是最好的老师”，建议家长们可以给孩子们读一些数学类的通识读物，培养他们对数学的好奇心，引导孩子们去感受历史上那些群星的动机与目的，不要被人类知识体系中”抽象”的知识和概念吓退。

譬如，这本蒂莫西•高尔斯所著的《数学》就适合初中毕业生看。作者用深入浅出的方式讲诉了很多数学概念。

还有吴军的《数学之美》，这本书就讲诉很多关于数学跨学科的应用。不过，这本书比较适合信息领域大三、大四阶段的学生阅读。读得早了，会因为有些课程没有学过而读不懂，读得迟了恐怕就会感慨怎么没有早点读到这本书。

总而言之，学习数学需要有一些“数学史”的涉猎与了解。学数学不是拼命地刷题，就算掌握了解题技巧，拿到了高分，倘若我们高中毕业后就远离它，这种教育是充满“叹息”的，这是“数学之殇”。

04

结语

我写过很多文章，都强调内在驱动力和兴趣的重要性。

学习数学亦是如此。

丘成桐是如何成为数学大师的？

 

在一次采访中，丘成桐讲诉到自己在初二那年遇到了几何，这让他感到很震撼，觉得它又严谨又干净。

之后，他沉浸在几何世界里，就连走在路上和吃饭时也满脑子想着数学。当时，他没有钱买数学书籍，就在图书馆站着看几个小时。

这段描述让我联想到了自己。不过区别是丘成桐是感受到了数学之美，我是为文字之美感到沉醉和震撼。

刚上小学时，我不知道作文为何物，我至今都记得语文老师在课堂上是如何拿着我的作文当作反面教材当着全班同学面批评的，她称我写的是“垃圾”。直到小学5年级的一天，我在一本书上看到一段话，那是一段很美的排比句，“犹如针扎入血管”般，我体会到文字给人带来的快感和震撼，那段话我当时反复读了很多遍，知道原来文字还可以这么表达，之后像“开窍”了一般，我爱上了阅读，也爱上了写作。

再之后，我因为写作收获过大大小小的成绩。从作文被刊登在学校报纸，到后来去报社实习、做编辑工作、写小说、这些成绩在外人看来或许不足为道，但在我的小小世界里，我自认为找到了可以为之奋斗一生的爱好和“使命”。

这就是兴趣和内在驱动力的巨大力量。

我希望你也有这样内心世界因为某件事被点燃的瞬间和废寝忘食的时刻。

诚然，每个人的驱动力不一样，这里我还想要讲的是，当我们数学怎么学都学不好时，我们有些人会很为沮丧，以为自己的智商不如他人。这种说法显然过于简化和自视甚低。举个例子，有的孩子计算不错，代数就不行；有些代数还不错，但几何就不行。所以，当我们把数学天赋等同于智商时，显然是武断且不正确的。

更何况，有些人虽然数学学不好，可能他又有着其他学科方面的天赋和才华呢？

所以啊，如果数学实在学不好其实也没关系。发现不了数学之美，我们还可以去发掘物理之美、生物之美、文学之美…

 

各位读者知道G大很少写数学的文章。

教育公众号主是一个顶端俯视的群体：我（我的娃）在某个领域特别牛逼，所以我写文章包治百病。G大自己当年开始写原版英语的时候就是这个路数。

不写数学，是因为自己不牛逼，自己的娃也是普娃。那自然不敢写。

但是随着G大开设公众号以来和读者的沟通增多，我发现“顶端俯视”的方法大概率无法复制。我原版阅读文章后的互动里面，大部分是在劝心动的父母不要走原版道路。

而我的文章里面可复制性强的，恰恰都是那些特别草根，特别底层的内容，比如我的Anki系列（语文、英语，两篇都是之前刊登在别的公众号的收费文章）。

所以就有了这篇关于普娃数学学习的文章。

2020上海数学中考考纲

G大所有的文章都是实际探究 – 写观感 – 提结论的风格，这篇也不例外。

当下小低年级小朋友数学方向上最具有指导意义的文件，莫属中考数学考纲。G大把整个文件仔细做了阅读和梳理，形成本文的基石。

以下我从几个方面来精炼这份大纲的内容，并给出我自己的解读。

首先是最底层的知识框架：

第一部分数与运算除了一小部分初中新增知识点以外，大部分是小学的内容。这方面所有的问题都应该在小学阶段得到解决，不要留到初中，那样就太晚了。

第二部分方程与代数。这是小朋友进初中以后的第一个关卡，也是数学从小学具象到中学抽象的第一个转折点。方程另一层标志性的含义，是小奥大部分题目都可以用方程解决。这一点我们后面详细讲。

第三部分函数与分析。函数对于小朋友来说是初中数学里面最最抽象的概念，因此在中考只考函数本身。利用函数解决问题的模型和算法思维，要到高中才出现。

第四部分概率统计有很多概念需要识记，但是在中考里考得并不难，分值也不高。

第五部分几何，初中数学的王者。初中几何非常考验小朋友的抽象思维，对于化繁为简和多步骤连贯思维的要求极高。它和函数作为初中数学的两座山峰，联手造就了“初二现象”的主因。

看完初中数学的内容，我们先来回答第一个问题：小学奥数和初中数学有多大关联？答案是很小。

以主流教材高思导引为例，细看目录，你会发现里面除了一小部分成体系的知识以外，其他的都是各种以题目类型命名的知识点。

高思还算有体系的，另一套著名教材奥精连体系都没有，就是简单直接的题目类型堆叠。细看内容，就是某一类型的题目不断加深加难，解法也百转千折，晦涩难懂。

小学奥数这个现状有历史成因：最初作为竞赛出现的奥数，目的是选拔未经系统培训的数学人才，因此从一开始就没考虑“体系”。奥赛最初需要考虑的只是把试题区分度做到最大，把真天才选出来。

而你们见到的所谓奥数体系，是后人在累积试题上做的归纳总结。

这和校内数学体系从底层出发是截然相反的。这也解释了小奥除了若干零散知识点以外，和初中数学完全无法对接的事实。

这也形成了今天本文的第一个观点：小学阶段完全没有必要遵从某个奥数体系展开学习，更没有必要追求难题、偏题、怪题。

那么为什么过往初中选拔孩子的时候如此看重奥数？小学在课内数学以外到底应该学什么内容？

要回答这个问题，我们必须看中考大纲的另一份表格：中考数学考核能力表

首先是占比一半的基础题。对于任何有想法的孩子来说，这部分都必须满分。这也是中考数学区分度低，对仔细手稳的孩子有利的出处。

除了基础题以外，剩下的四个板块，究其根本，都在考察逻辑推理能力。

逻辑推理有很多含义。在小、中学数学中，它特指寻求从A到B路径的能力。这里A是题目，B是答案。

而这，尽管是教学大纲里的要求，却是目前小学数学课内教材（上海是二期课改）的致命欠缺点。我来引用一段上述中考大纲的开头，你们就会明白这里头问题的由来：

看懂了吧？它就是当年素质教育的遗留物。90年代中我们开始反思的时候，派出了一大批教育工作者奔赴海外考察。当时正在西方流行的“发现式数学”，令他们大开眼界。

回国后他们关起门来憋了几年，放出了作为素质教育一部分的二期课改数学教材。我们小时候那种严谨的以知识点为核心的教材，被教改者们替换成了他们理解中的“发现式数学”。

可惜画虎不成反类犬，国内的老师即使经过反复培训，也无法完成从“授者”到“引导者”的转换。国内整个教育生态体系也完全不支持这套做法。

最终各名校纷纷引入第二数学教材，并以此为在家长心目中的名校“标志物”。

在这种情境下，民办初中无奈选择了奥数作为筛选学生的标准。毕竟在奥数学习的过程中，学生或多或少会提升一些逻辑思维能力，能够更好对接初中的学习。

只是对于学生而言，花大量时间学习奥数换取那一点点逻辑思维能力的提升，费效比很低，边际效应更低。

而过往通过小学砸大量时间在奥数上，而没有在其他科目和通识教育做储备的伪牛蛙，在进入牛初后，时有掉队的案例。

写到这里，G大基本上把数学的学习目标，以及过往学习奥数的方法为什么不可取讲清楚了。接下来我会讲当下小学课外数学究竟应该怎么弄。

小学课外数学究竟怎么搞

文章读到这里，各位读者应该明白，传统意义上的“奥数”在当下的情景中已经不再适合。

而作为思维拓展的“浅奥”，的确有其必要性。

校内数学的扎实基础同样重要。

落地到具体执行层面，以下是G大作为过来人，给小低甚至学前父母的一点可落地操作方案：

1. 课内数学严谨对待
   
   – 计算关必须要过，每天30题，知识点和难度螺旋上升，计算小超市或者各类APP都行
   
   – 严格遵守老师对于读题、画图和草稿等各方面的要求，做到题目必圈信息、应用题必画图、草稿必清晰

   
   – 数学的书写必须端正，数字符号清晰无误解、解题过程每行都要对齐（做不到时可画线辅助）

   
   

2. 课外内容每周适量
   
   – 整个小学阶段都应该控制在每周三小时以内，包括上课和做题
   
   – 不要被机构和身旁的父母裹挟着去追求所谓的“高端班”，不要被动物性的攀比和炫耀迷惑了心智
   
   – 远离各类套路和刷题
   
   

3. 习题重过程轻结果
   
   – 课内外的习题，不要太纠结正确错误，更不要纠结数量
   
   – 每周完成机构或者自定的少量精题，关键要求孩子讲出解题过程的每一步
   
   – 解题过程的口述要求步骤清晰，逻辑链条完整，语言表达尽量得体
   
   – 口述在初期会非常困难，可能半小时都讲不完一道题。坚持下去，帮助孩子一点一滴改善
   
   

4. 学前玩中学，小低别超前
   

   
   – 学前的各类游戏型思维拓展工具都可以尝试，但是千万不要变成一项任务，成为负担
   
   – 小低段每半年小朋友的理解能力都会飞速发展，所以千万不要超前学，等到恰当的时间事半功倍
   
   – 把节省下来的时间给阅读、体育、艺术和通识

好，G大第一次尝试讲数学这个话题就先到这里。各位读者如果喜欢还请多多转发。我看到会继续写的。

【END】

学科竞赛退出义务教育阶段

 

最近教育部公布了面向中小学生全国性竞赛名单。名单分为“自然科学素养类”“人文综合素养类”“艺术体育类”三类，共有“中国青少年机器人竞赛”等35项竞赛进入名单。教育部要求，进一步规范竞赛管理工作，对名单内的竞赛加强监管，对名单外的违规竞赛严肃查处。

到这份只包含了35项全国竞赛的“白名单”拒绝了义务段的所有学科竞赛。

比如中小学数学著名的几个比赛——“迎春杯”，“希望杯”，“华罗庚金杯”。其中希望杯仅面向高中生，其他统统停办，事实上连而历史悠久的初中数学联赛都停办了，其他级别的竞赛更不要说了。

 

但是这个名单比较搞笑：

1. 小学生，初中生可以搞无人机，搞人工智能，搞物联网，搞创新，就是不能搞数学。

2. 名单外的竞赛要加强监管，对名单外的违规竞赛严肃查处。

 

这个名单有什么问题？

简单来说，浮夸，不切实际。霸道，不讲道理。

 

1. 数学是所有理工科的基础

以前那种过分市场化的数学奥数竞赛，是不可取的。但是彻底取消是从一个极端走到另外一个极端。中小学奥数被滥用根本原因是中小学招生机制出了问题，而不是竞赛本身出了问题。华罗庚竞赛几十年了，为啥以前都没有问题，最近十几年出了问题呢？还不是太多的东西和这个竞赛挂钩了。不去改革招生机制，反而去取消和限制竞赛，这就是因噎废食。美国面向中小学的math kangaroo竞赛参加比赛的人乌央乌央的，也没啥大的负面作用啊？因为这个竞赛跟升学一毛钱都没有关系。爱参加参加，不爱参加随便。但是给nerd们一个乐趣。

 

 

另外真正学过人工智能，计算机，创新有比较深了解的人，都知道这些背后都是数学。准备过大公司面试的人员都知道，最需要准备和最难准备的就是数据结构和算法，尤其是算法，很多都是数学问题。人工智能，是算法的一种。并没有什么神奇的系统叫叫人工智能系统或者专家系统（都是忽悠人的），背后都是比较复杂的数学理论在后面。没有一定的基础，你模型参数都不会调，你忽悠谁啊。

 

我们拿机器人里面最简单的 line follower来说：

任务就是地上画了线，让机器人跟着线走。能够不跑偏，而且需要最短的时间完成任务，看着很简单的。

这个路径是简单的

 

这种是复杂的

 

但是最基本的其实就是一个PID控制，左边出去太多了，那就打右方向，右边出去多了，那就打左方向。然后在速度和响应之间达成一个平衡。

最基本的控制模型

 

控制函数

没有很好的数学基础和建模的能力，最多也就是一个demo 运行者，你要调整参数，都不知道怎么调，如果问题复杂了怎么改进也不知道怎么改进。这还是最最简单的line follower。

我完全不理解小学初中搞这些有啥意义？难道就是考察孩子父母的科研能力？小学生搞什么人工智能就是最大的科研浮夸。

 

2.数学是最廉价的竞赛

 

一套教育版的EV3的价格是400多美元，各种课程另算，山寨版也不便宜。作为一个有6亿人人均收入很低的国家，这些东西对于很多人而言是根本没有办法接触的，阶层的隔离作用非常明显。而数学竞赛的选拔与考察，更多是思维方式，天赋和毅力。只要一本书，几张纸，一支笔就能搞定，这种竞赛对于所有人是公平的。

印度的拉马努金靠着自己的纸和笔开创了一个领域

义务教育阶段，好好学习学科知识，并打好基础，为将来的学习做好准备，这才是正确的方向。同时能发现一批人才，提供额外的鼓励和支持，这是竞赛的意义。

 

而应用领域的什么无人机，人工智能，物联网都是大厦的的尖顶。创新更是需要更多的积累和思考。如果小学生，初中生搞这些东西，搞创新，那硕士和博士搞什么？最后还不是拼家长指导，拼培训机构的指导？如果这不是浮夸？那什么是浮夸？

这些不切实际，好大喜功的浮夸，才是小学生研究癌症的根源。

 

3. 霸道，不讲道理

什么叫 ”对名单内的竞赛加强监管，对名单外的违规竞赛严肃查处。” 什么规定？如何监管，怎么查处？

 

比如由一帮爱好者喜欢航模，搞了一个全国航模比赛，比如是公司组织的比如大疆组织的，不在你的名单里，你凭什么禁止他？怎么查处？

 

再比如，你不是禁止了小学的学科竞赛，那么国外还有Math Kangaroo,  Mathcount, AMC 8, AMC 11。现在国内有些学校还组织一些感兴趣的学生参加竞赛。显然这些竞赛，不在教育部的名单上，那以后这些竞赛还能不能参加？参加了又怎样？

 

再退一步说，比如江苏搞个苏南四市联考，苏北七市联考，但是按照竞赛规格出，是不是合规？

 

有关部门的最重要的作用是好好地制定好大的政策，关注如何培养与选拔人才，关注教育公平。而不是具体到什么竞赛都要管。80年代，90年代，招生和竞赛并没有什么特别关联的时候，竞赛还不是好好的么？招生机制出了问题，偏偏要从竞赛上找问题。是不是有点红颜祸水的味道？

 

有关部门这么闲，不知道过去几十年替考的事情，有啥结论了么？而这些事情才是应该下大力气狠抓的。

 

 

结语

 

坦率说，教育部的这个竞赛名单的办法是治标不治本。只要升学和竞赛挂钩，那么那怕是吃辣椒比赛，都会有一堆人去上培训班，去刷题的。把学科竞赛踢出义务教育阶段，完全是一种乱作为。
而真正需要正确引导的，人才的发现和培养机制方面，跟前苏联比起来一直缺位，完全不作为。

 

提点建设性意见：

1. 建议研究一下前苏联是如何培养和发现他们国家的数学人才的。

俄罗斯和前苏联在培养数学人才方面非常有一套，而且历史源远流长。这个我以前写过长文，可惜前面的公号被封了，文章也不见了。

 

2. 建议研究一下美国是如何培养美国的数学人才的。

美国的普通人数学很差，但是美国又是各种数学天才的聚集地。因为美国有一整套机制保证数学天才不会被埋没，能够被发掘出来。一方面有多如牛毛的各种数学竞赛，有的影响力大，有的影响力小。喜欢的人，有天赋的人，参加一下就会露出来。然后就是大学和社区结合的非常紧密。

美国各地的math circle

经常有大学针对社区开设日常的math circle，搞不完全针对竞赛的各种培训。一方面回馈社会，一方面发现人才。都是一些教授，副教授给社区热爱数学，基础不错的孩子教课。如果小孩真的有天分，基本上周边各种资源都有。

 

另外对于教育公平方面，这条规定，使得那6亿人的孩子以后参加竞赛的机会越来越难了。这些孩子连电脑都没有，无人机，机器人都没有摸过，搞竞赛，这不是开玩笑么？

初中数学想要拿到高分，就必须熟练掌握各个公式和定理，并形成一个完整的知识体系。初中阶段的数学公式定理多，知识点繁杂，主要可以分为数与代数、空间与图形、统计与概率三大部分。

 

考生在分类归纳之后，把公式定理熟背，看到试题自然了然于心。因此要想提高数学学科的学习效率，学会分类、归纳、总结。

 

 

注：下面的图看不清楚，可以单击图片放大看

 

01

初中数学知识树

 

02

代数式

 

03

一次函数与反比例函数

 

04

二次函数与一元二次方程

 

05

图形认识、相交线、平行线

 

 

06

 三角形

 

 

 

07

四边形与圆

 

 

 

08

图形的全等变换

 

 

 

09

全等三角形与相似三角形

 

 

10

统计与概率